Основное уравнение мкт (молекулярно-кинетической теории). давление идеального газа
Согласно модели идеального газа молекулы все время находятся в беспорядочном движении, сталкиваются между собой и со стенками сосуда, в котором пребывают. В момент столкновения молекулы со стенкой она действует на нее с силой, импульс которой, согласно второму закону Ньютона, равняется изменению ее импульса (количества движения): F?t = Δ(m?v). Это значит, что изменение модуля импульса всех молекул ΣΔ(mvi) при ударе равнозначно действию усредненного значения силы F? в течение времени t. Это суммарное действие молекул вызывает давление газа, которое по определению равно p = F / S.
Давление газа вызывают удары о стенку сосуда большого количества молекул, передающих ему импульс.
Рассмотрим идеальный газ, который находится в сосуде объемом V. Для простоты расчетов выберем его в форме параллелепипеда (рис. 1.15).
Пусть в нем находится N молекул массой m0 каждая; их концентрация равна n = N / V. Поскольку молекулы движутся беспорядочно (условие динамического хаоса для идеального газа), то достаточно определить давление на одну из стенок, поскольку на другие стенки молекулы будут создавать такое же давление. Для простоты изложения сначала будем считать, что все они имеют одинаковые скорости V.
Представим отдельный слой газа, перпендикулярный координатной плоскости ZY. В силу хаотичности движения количество молекул, влетающих в этот слой справа, равняется количеству молекул, вылетающих из него слева.
Очевидно, что и те и другие передают данному слою импульс: влетающие слева (рис. 1.16) несут импульс m0vx, где vx — проекция скорости на ось Х; вылетающие из него выносят импульс —m0vx, в целом передавая ему импульс 2m0vx.
Итак, со стороны всех молекул Z, влетающих в отдельный слой, стенка получает импульс 2Zm0vx.
Количество молекул Z, которые сталкиваются со стенкой площадью S за время t, можно определить по их концентрации в объеме отдельного слоя: Z = nvxtS, где n — концентрация молекул. Поскольку к стенке долетают лишь те молекулы, которые имеют положительную проекцию скорости на ось X (vx 0), то их количество будет составлять половину от числа молекул, пересекающих плоскость отдельного слоя газа:
Z = nvxtS / 2.
Итак, со стороны всех молекул, находящихся в отдельном слое, стенка получает общий импульс:
Fxt = 2 • nvxtSm0vx / 2.
Разделив левую и правую части равенства на St, получим:
Fx / S = p = nm0v2x.
Предположения, что скорости всех молекул одинаковы, было сделано с целью упрощения вывода уравнений. На самом же деле диапазон их значений довольно широк — от 0 до определенного максимального значения vmax.
Поэтому в предыдущем уравнении для определения давления газа правильнее будет брать средний квадрат проекции скорости vx. Тогда оно будет иметь вид:
p = nm0v?2х.
Понятно, что аналогичные соображения будут справедливы для стенок, лежащих в других координатных плоскостях:
p = nm0v?2y,
p = nm0v?2z.
Средний квадрат скорости имеет смысл среднестатистического значения скорости.
Очевидно, что вследствие хаотического движения молекул v?2x = v?2y = v?2z. По математическому определению средний квадрат скорости равен v?2 = (v?2x + v?2y + v?2z).
Отсюда v?2x = (1 / 3) • v?2. Подставив это выражение в уравнение p = nm0v?2х, получим окончательное уравнение для определения давления идеального газа:
p = (1 / 3) • nm0v?2.
Эта формула является основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое определяет связь между макропараметром термодинамической системы — давлением идеального газа и характеристиками его микроскопического состояния. Таким образом, оно определяет давление газа как статистическую величину посредством микропараметров системы — концентрации, массы и скорости молекулы.
Поскольку nm0 = ρ, где ρ — плотность газа, основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа будет иметь еще и такой вид:
p = (1 / 3) • ρv?2.
Основное уравнение MKT является мостиком между двумя подходами в толковании тепловых явлений и процессов — термодинамическим и молекулярно-кинетическим.
