Колебания кристаллической решетки. нормальные колебания (моды)
При низких температурах закон Дюлонга-Пти не выполняется, теплоемкость переменна. Для объяснения такого поведения необходимо более подробно разобраться с колебаниями кристаллической решетки.
Прежде всего заметим, что предположение о независимости колебаний отдельных атомов решетки, очевидно, несправедливо для низких температур. Энергия тепловых колебаний невелика, и силы межатомного взаимодействия оказывают существенное влияние на движение отдельных атомов.
Это приводит к сложному характеру колебаний, которые теперь не являются независимыми. Как распутать такую систему связанных колебаний?
Такие задачи часто возникают в теории колебаний, и для их решения разработаны эффективные методы. Наиболее удобным для наших целей будет метод нормальных колебаний.
Суть метода состоит в том, что вместо описания множества колебаний отдельных атомов решетки рассматриваются колебания всей решетки в целом.
В качестве модели кристалла примем систему из одинаковых шариков, соединенных невесомыми пружинками. Выберем простейшую модель, состоящую всего из трех шариков.
Она, конечно, является не более чем карикатурой на реальную кристаллическую решетку, но зато с ее помощью легко показать, как надо описывать сложные колебания. Пусть концы A и B крайних пружин закреплены, а шарики могут перемещаться только в плоскости рисунка в направлениях, перпендикулярных линии AB.
На рисунке представлены все возможные нормальные поперечные колебания (моды) такой цепочки.
Нормальными колебаниями системы называют такие гармонические колебания, которые, во-первых, являются независимыми, а во-вторых, любое колебание может быть представлено как их сумма.
Цепочка, изображенная на рисунке, имеет три степени свободы, любое ее поперечное колебание можно представить как объединение трех гармонических колебаний разных амплитуд с частотами ω1, ω2, ω3. Реальные трехмерные кристаллические решетки можно интерпретировать как трехмерные цепочки из шариков-атомов, связанных пружинками, которые в такой наглядной модели соответствуют межатомным силам.
Смещение (не обязательно продольное или поперечное) одного из атомов из положения равновесия приведет в движение соседние атомы. Колебание, возникшее в одном месте кристалла, будет передаваться от атома к атому, т. е. по решетке побегут упругие волны, которые представляют собой не что иное, как звук.
В твердых телах могут распространяться звуковые волны двух типов — продольные и поперечные. Скорость поперечных волн всегда меньше скорости продольных волн.
Так, в алюминии они равны соответственно 3130 и 6400 м/с.
