Тепловые колебания атомов кристаллической решетки
Нормальному колебанию в кристаллической решетке отвечает стоячая волна, устанавливающаяся в объеме твердого тела. Энергия тепловых колебаний 1 моля кристалла при таком подходе определится как сумма энергии всех звуковых волн, распространяющихся в объеме, занятом этим молем.
При подсчете энергии звуковых волн необходимо учесть еще одно важное обстоятельство.
Энергия звуковой волны, как и энергия всяких колебаний, квантуется в соответствии с формулой
En = hω(n + ½).
Это означает, что превышение энергии волны над уровнем нулевых колебаний,
E0 = hω / 2,
En — E0 = hωn,
можно представлять себе в виде n квантов, каждый из которых несет энергию hω. По аналогии с квантами света — фотонами — кванты звука получили название фононы.
Таким образом, тепловые колебания атомов кристаллической решетки могут быть описаны как идеальный бозонный газ невзаимодействующих фононов.
Представление тепловых колебаний решетки в виде фононного газа намного проще первоначальной картины колебаний огромного числа периодически расположенных атомов, совершающих связанные колебания относительно положений равновесия. Как следствие простоты картины, появляется возможность расчета тепловых свойств кристалла в широком диапазоне температур.
Фононы, «живущие» в кристаллической решетке, отличаются частотой, так как возникают из нормальных колебаний разных типов. Максимальная частота колебаний решетки ωmax отвечает минимально возможной длине волны λmin, которая, очевидно, равна 2d, где d — расстояние между соседними атомами в решетке.
Волна, длина которой меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеет физического смысла!
Если обозначить скорость звука V, то
ωmax = 2πV / λmin = nV / d.
Число фононов не сохраняется — чем выше температура кристалла, тем больше число «населяющих» ее фононов. Из несохранения числа фононов следует, что их химический потенциал равен нулю: μ = 0, а следовательно, среднее число фононов с энергией Ei определяется распределением Бозе-Эйнштейна вида:
= 1 / (exp(Ei / kT) — 1).
Полная тепловая энергия 1 моля кристаллической решетки может быть найдена по общим правилам статистической физики как сумма
E = Σmi=1EiГi,
где Гi — статистический вес энергии Ei, т. е. число состояний с такой энергией в 1 моле кристалла. Индекс m соответствует энергии фононов с максимально возможной частотой ωmax.
