Движение точки вдоль заданной кривой
Многие случаи движения, представляющие практический интерес, моделируют движением точки. Но решение этой задачи дает ключ к решению и более сложной проблемы — описанию движения произвольных протяженных тел, поскольку любое из них может быть представлено как совокупность точек.
Движение точки вдоль заданной кривой является простейшим случаем движения. Рассмотрим реальную ситуацию: автомобиль движется по известному шоссе из пункта A в пункт B. Как её можно описать математически?
Прежде всего, упростим картину. Автомобиль заменим (смоделируем) точкой, а шоссе — кривой в пространстве, потому что нас интересует, как движется автомобиле по шоссе, в какие моменты времени он проходит через определенные пункты.
Теперь вместо движущегося по шоссе автомобиля мы рассматриваем движение точки по заданной кривой.
Некоторую точку O кривой выберем в качестве начала отсчета. Зададим (произвольно) положительное направление вдоль кривой.
Положение некоторой точки P на кривой полностью определяется одним числом, например величиной s — длиной части кривой между точками O и P. Считается, что при s 0 точка P сдвинута на расстояние s от точки O в положительном направлении кривой, а при s 0 — в противоположном направлении.
Введем теперь в рассмотрение время. Ясно, что каждому моменту времени t соответствует некоторое значение s. Такое соответствие в математике называется функцией и записывается так:
s = f(t).
Под f подразумевают некоторое правило, согласно которому каждому значению t из области определения функции ставится в соответствие значение s. Это правило может быть задано таблицей либо для достаточно простых случаев формулой. Будем называть s координатой движущейся точки.
Имея такую функцию, мы можем дать определение движению:
если координата точки s меняется с течением времени, точка движется.
Каким образом можно фактически получить функцию s = f(t)? (Напомним, что физика оперирует лишь наблюдаемыми величинами.) Очень просто. Пусть у каждого километрового столба вдоль шоссе стоят наблюдатели с часами, и каждый из них по своим часам фиксирует момент прохождения автомобилем своего столба.
В результате мы составим таблицу, в которой определенным значениям s соответствуют определенные значения t. Это непосредственный и безукоризненный способ получения функции, описывающей движение.
Автомобиль отправился из начального пункта в момент t = 0, к моменту времени t1 достиг точки s1 и остановился, при t2 двинулся дальше и к моменту t3 достиг точки s2, в которой на мгновенье остановился и повернул. В момент t4 он возвратился в исходный пункт и, не останавливаясь, продолжил движение в обратном направлении.
Наглядное представление о функции дает график.
Функция s = f(t) полностью описывает движение точки вдоль кривой. Непрерывность этой функции означает, что разность ее значений Δs для двух моментов времени, разделенных малым промежутком Δt, прямо пропорциональна величине промежутка, и это правило выполняется тем точнее, чем меньше промежуток.
Не все функции, рассматриваемые математиками, таковы, но функции, описывающие движение материальных тел, обладают этим свойством, что гарантируется законами природы. Физически это означает, что невозможна ситуация, при которой реальное тело в данный момент времени находится здесь, а в следующий момент окажется на Марсе. Запишем формулу:
Δs = v(t)Δt,
где Δs — путь, пройденный точкой за малое время Δt.
Коэффициент пропорциональности между перемещением и временем зависит от того, как быстро движется точка, и называется скоростью.
Скорость точки имеет определенное значение в каждый момент времени, т. е. является функцией времени. Функция s = f(t) полностью определяет скорость точки в каждый момент времени.
Скорость есть производная этой функции. v(t) = f(t) = ds/dt. Если параметр s во времени растет, скорость положительна, убывает — отрицательна. Имеется фундаментальный закон природы, управляющий ускорением тела (не положением, не скоростью, а именно ускорением).
С открытия этого закона и началась физика как наука в современном понимании этого слова. Закон позволяет найти функцию a = a(t), а зная ее, можно чисто математическими методами получить функцию s = s(t), т. е. предсказать, как будет двигаться объект.
