Движение точки по поверхности
Положение точки на кривой задается одним числом, но для задания положения на поверхности одного числа, очевидно, мало. На плоскости можно ввести декартовы координаты x, y (и построить квадратную решетку из твердых стержней).
Движение точки тогда будет задаваться двумя функциями: x = x(t), y = y(t), которые любому моменту времени t ставят в соответствие значения координат точки. Расстояние между двумя точками (x1, x2), (x2, y2) определяется по формуле (теорема Пифагора):
l = √((x1 — x2)2 + (y1 — y2)2). [1]
Изменение координат точки Δx, Δy за малое время Δt мало и пропорционально времени:
Δх = vx(t)Δt, Δу = vy(t)Δt. [2]
Величины vx, vy, определяющие, как быстро изменяются координаты, называются компонентами вектора скорости. При движении точки на плоскости скорость представляется вектором и задается двумя числами vx, vy.
Расстояние, которое пройдет точка за малое время, будет, согласно вышеизложенным формулам, равно
Δl = √(Δx2 + Δy2) = √((vx2 + vy2)Δt). [3]
Величина (число)
v = √(vx2 + vy2)
определяет расстояние, проходимое точкой за малое время, и называется модулем вектора скорости.
Ускорение также представляется вектором и задается двумя числовыми функциями. Они определяют, как быстро меняются компоненты скорости:
Δvx = ax(t)Δt,
Δvy = ay(t)Δt.
Задача усложняется, если точка движется по искривленной поверхности: на такой поверхности невозможно ввести декартовы координаты (на ней нельзя построить квадратную решетку из твердых стержней). Положение на поверхности по-прежнему задается двумя числами (координатами) x1, x2, что может быть сделано многими способами (вместо квадратной решетки можно представить себе сеть из эластичных нитей, натянутую на поверхность), но координаты теряют непосредственный метрический смысл.
Расстояние между двумя точками с близкими значениями координат не определяется формулой [1]. Для вычисления расстояния нужно задать четыре числа для каждой точки поверхности, зависящие от формы поверхности и выбранной системы координат.
Изменение координат во времени дается по-прежнему формулами [2], но формулы [1] и [3] модифицируются.
