Статическое центрально-симметричное поле
Статическое центрально-симметричное поле создается статическим распределением массы, обладающим центральной симметрией (массивный шар). Такое распределение можно окружить семейством твердых сфер с общим центром, совпадающим с центром симметрии.
Из симметрии следует, что все скалярные (представляемые одним числом) физические величины во всех точках любой сферы должны быть одинаковыми, и часы во всех точках любой сферы должны идти в одинаковом темпе.
Пусть S — площадь некоторой сферы. Припишем этой сфере параметр r («радиус») по формуле r = √(S / 4π).
Для сферы в плоском (евклидовом) пространстве эта величина была бы настоящим радиусом, т. е. расстоянием от центра до сферы, измеренным линейкой. В нашем случае, однако, это не так. Расстояние между соседними сферами с радиусами r и r + Δr, Δr r, расположенными вне источника (распределения массы), измеренное линейкой (или радаром), окажется равным не Δr, а
Δl = Δr / √(1 — rg / r).
Именно это и означает, что трехмерное пространство «искривлено» или неевклидово.
Величина rg = 2GM / c2 (где G — гравитационная постоянная, M — масса источника, c — скорость света) называется гравитационным радиусом тела.
Если взять двое одинаковых часов, показания которых совпадают, поместить их на две сферы с радиусами r1, r2, а по прошествии некоторого времени (достаточно большого, чтобы можно было пренебречь эффектами, связанными с переносом часов) снова совместить, то обнаружится, что их показания не совпадают. Если часы на сфере r1 покажут время τ1 то часы на сфере r2 покажут время τ2 причем
τ2 = τ1√((1 — rg / r2) / (1 — rg / r1)).
Видим, что часы на сфере с большим радиусом покажут большее время, чем часы на сфере с меньшим радиусом. (Всякие часы показывают длину собственной мировой линии, а мировые линии рассматриваемых часов различны.) Если вторые часы находятся очень далеко (на бесконечности, как говорят физики), то получим:
τ(r) = t√(1 — rg / r),
где τ(r) — время, протекшее на радиусе r, а t — соответствующее время на бесконечности.
Время вблизи гравитирующей массы течет медленнее, чем на бесконечности.
При вычислении изменения различных величин во времени часто бывает удобно относить эти изменения не к локальному времени, которое в разных точках течет по-разному, а именно ко времени на бесконечности.
Если масса центрального тела не меняется во времени, геометрия окружающего пространства также не будет изменяться. Но если масса меняется, то и пространственная геометрия будет меняться.
Система отсчета, связанная с центральным телом, неинерциальна. Время в разных точках пространства течет по-разному, а само пространство неоднородно, так как его свойства (отклонение от евклидовости) зависят от радиуса.
В окрестности обычных тел, типа Земли или Солнца, эти отклонения слишком малы, чтобы проявляться непосредственно, и именно поэтому в ньютоновской теории можно было считать систему отсчета, связанную с Солнцем, инерциальной. Если бы мы обитали в окрестности какой-нибудь нейтронной звезды, то ньютоновская механика и теория гравитации не возникли бы.
Система отсчета, связанная со стулом, на котором вы сидите, есть локальная ускоренная система, ускорение которой относительно локальной инерциальной системы равно д и направлено вертикально вверх. Как только пол под вашим стулом провалится, система отсчета, связанная со стулом, станет этой локальной инерциальной системой.
