Сферические и плоские гармонические волны
Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника в однородной среде со скоростью v, описывается уравнением
f(t — r / v) / r.
Здесь f(r, t) — возмущение в момент времени t в точке, отстоящей на расстояние r от источника, а f(t) — функция, описывающая возмущение в источнике.
Если возмущение в источнике описывается гармонической функцией
f(t) = f0 sin(ωt + φ),
то уравнение плоской синусоидальной волны, бегущей в положительном направлении оси x, имеет вид:
f(х, t) = f0 sin (ωt — kx + φ).
Величина k = ω / v называется волновым числом, ω — циклическая частота, f0 — амплитуда волны. Если возмущение описывается векторной функцией f?, то и амплитуда волны f?0 тоже вектор. В общем случае в плоской волне, распространяющейся в направлении, задаваемом вектором k?, возмущение в точке пространства, задаваемой радиус-вектором r?, в момент времени t дается выражением:
f(r?, t) = f0 sin(ωt — k? ? r? + φ).
Вектор k? называют волновым вектором, его модуль равен волновому числу: |k?| = k. Наименьший интервал времени T, через который повторяется значение величины f в точке наблюдения, называется периодом волны: T = 2π / ω. Наименьшее расстояние λ между двумя точками на прямой, параллельной вектору k?, в которых значение величины f одинаково в любой момент времени, называется длиной волны, λ = 2π / k. Очевидно, что λ — это то расстояние, которое проходит волна за период, т. е. λ = vT.
Сферическая гармоническая волна описывается уравнением:
f(r?, t) = f0 ? sin (ωt — k ? r + φ) / r.
Названия и формулы для величин ω, k, T, λ такие же, как и в случае плоских волн.
Выражение, стоящее под знаком синуса в уравнении плоской или сферической волны, называется фазой волны. Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний величины f одинакова, называется фазовой или волновой поверхностью.
Если волна распространяется в однородной среде, то формы фазовой и фронтальной поверхностей совпадают. Скорость движения поверхности равной фазы называется фазовой скоростью волны. В плоской волне любая поверхность равной фазы, задаваемая уравнением
φ(r?, t1) = ωt — k? ? r? + φ = const,
есть плоскость, перпендикулярная вектору k?. Она движется со скоростью vф = ω / k в направлении распространения волны, т. е. фазовая скорость — это та величина, которую раньше мы назвали просто скоростью распространения волны. Уравнение фазовой поверхности для сферической волны имеет вид:
φ(r, t1) = ωt — kr + φ = const.
Это уравнение расширяющейся сферы, причем скорость расширения
r? = vф = ω / k.
