Плотность заряда и плотность тока
Электромагнитное поле связано с распределением и движением зарядов в пространстве. Как задать распределение заряда в пространстве? Выделим малый элемент объема ΔV в окрестности некоторой точки r?.
Заряд, находящийся в этом элементе, пропорционален величине объема и зависит от его местонахождения. Положим,
Δq = ρ(r?)ΔV.
Введенная таким образом величина ρ(r?) называется плотностью заряда в точке r?.
Задание функции ρ = ρ(r?, t) полностью описывает распределение заряда в пространстве в заданный момент времени t. Зная эту функцию, мы можем определить заряд Q, находящийся в любом объеме V. Объем разбивают на малые элементы и вычисляют сумму зарядов всех элементов. Такая сумма обозначается знаком интеграла:
Q = ∫Vρ(r?)dV.
На поле влияет не только плотность заряда в той или иной точке пространства, но и движение зарядов, которое характеризуется плотностью тока. В окрестности точки с радиус-вектором r? возьмем малый элемент объема ΔV.
Умножим заряд каждой частицы, оказавшейся в данном элементе, на ее скорость и сложим найденные величины. Получим векторную величину
Σqiv?i.
Эта сумма пропорциональна элементу объема. Как и для заряда, коэффициент пропорциональности зависит от положения элемента в пространстве, т. е. от вектора r?. Положим:
Σqiv?i = j?(r?)ΔV.
Векторная величина j?(r?) называется плотностью тока в точке r?. Если в окрестности точки r? взять малую площадку площадью ΔS, с единичным вектором нормали n?, то скалярное произведение j? ? n? в этой точке определяет заряд Δq, пересекающий площадку в направлении вектора нормали за малое время Δt:
Δq = j? ? n? • ΔSΔt. [1]
Множитель перед Δt в правой части формулы [1] называется силой тока через площадку ΔS. Это скалярная величина. Если взять кусок произвольной поверхности S, разбить его на малые элементы ΔSi, вычислить по формуле [1] для каждого элемента заряд Δqi и сложить полученные числа, то найденная таким образом величина
Δq = ΣiΔqi = ΔtΣj?i ? n?i • ΔSi.
будет представлять собой заряд, пересекший выбранный кусок поверхности за время Δt. Множитель, следующий за Δt в правой части этой формулы, называется силой тока через поверхность S и обозначается буквой I. Заменив знак суммы знаком интеграла, запишем:
I = ∫Sj? ? n? • dS.
