Движение твердого тела. векторное произведение векторов
Твердое тело состоит из множества точек, и при его движении перемещения разных точек могут быть различными, и, следовательно, различными будут скорости и траектории этих точек.
Подходящей моделью для описания движения многих протяженных объектов является концепция твердого тела. Понятие «твердое тело» используется в физике в разных контекстах и в разных смыслах. Применительно к обсуждаемой проблеме твердое тело можно определить как
множество точек, расстояния между которыми не изменяются ни при каких обстоятельствах.
Это, конечно, некоторая абстракция. Условие твердости сильно ограничивает возможные типы движения.
Из него сразу следует, что проекции векторов скорости любых двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, одинаковы.
Проекция вектора на некоторую прямую определяется с помощью скалярного произведения. Это операция, которая двум векторам a? ставит в соответствие число: a? ? b? = ab cos α, где α — угол между векторами-сомножителями.
Через компоненты векторов скалярное произведение выражается формулой a? ? b? = ax • bx + ay • by+ az • bz. Если n? — единичный вектор вдоль прямой, то проекция вектора a? на эту прямую равна величине a? ? n?.
Оказывается, что произвольное движение твердого тела сводится к двум простым движениям — поступательному и вращательному. Точнее говоря, любое малое смещение твердого тела можно представить как перемещение всех точек тела на один и тот же малый вектор и малый поворот, причем результат не зависит от порядка, в котором производятся эти операции.
Поворот вокруг фиксированной оси — одно из возможных движений твердого тела. Поворот определяется углом поворота и осью.
Угол задается числом, а ось — прямая с определенной ориентацией в пространстве. Пусть n? — единичный вектор (|n? | = 1) вдоль оси вращения, который определяет ориентацию оси и задает на ней положительное направление.
Задание вектора n? определяет направление поворота с помощью правила винта (буравчика): положительному значению угла поворота соответствует ход правого винта в направлении вектора n?.
Поворот определяется тремя числами: два числа задают ось, третье — угол поворота. Эти три числа, однако, не являются компонентами вектора.
Но поворот на малый угол представляется вектором!
Вектор смещения каждой точки твердого тела при малом повороте может быть определен с помощью операции векторного произведения.
Векторным произведением векторов a?, b? называется вектор c?, ортогональный плоскости, в которой лежат векторы a?, b?, c? модулем, равным: |c?| = |a?| ? |b?| • sin φ, где φ — угол между векторами a?, b?.
Векторное произведение обозначается знаком ? или квадратными скобками: c? = a? ? b? = [a?b?].
Направление вектора c? определяется правилом правого винта: если вектор a? (первый сомножитель) вращать по кратчайшему пути к вектору b?, то ход правого винта даст направление вектора c?. Векторное произведение не перестановочно (оно меняет знак при перестановке сомножителей):
a? ? b? = -b? ? a.
При произвольном движении твердого тела скорость точки O и угловая скорость вращения есть функции времени. Задание этих функций (в общем случае — шести функций, по три на каждый вектор) полностью описывает движение твердого тела.
С точки зрения кинематики выбор точки O произволен. Но если учитывать динамику, то в качестве точки O удобнее брать центр масс тела.
