Длина волны де бройля
Для свободной частицы возможно состояние, в котором ее импульс точно определен, т. е. при измерении импульса мы с вероятностью, равной единице, получим заранее известное значение p?. Волновая функция этого состояния соответствует плоской волне, фронт которой — плоскость, ортогональная вектору импульса p?. Длина волны определяется импульсом частицы:
λ = h / p.
Эта величина называется длиной волны де Бройля (по имени физика, первым выдвинувшего гипотезу о том, что частицам присущи волновые свойства).
Волновая функция свободной частицы с импульсом p?, направленным вдоль оси x, имеет вид
ψ = C(cos(kx — ωt) + isin(kx — ωt)).
Здесь C — константа. Между частотой и волновым числом имеется связь
ω = ћk2 / 2m,
где m — масса частицы, ћ = h / 2π, k = p / ћ, h — постоянная Планка. Это уравнение плоской волны, бегущей вдоль оси x.
Теперь можно понять результат эксперимента с частицами, проходящими через экран со щелями.
Состояние частиц, падающих на экран со щелями от удаленного источника, задается волновой функцией в виде плоской волны, длина которой определяется импульсом частицы. Вторичные волны ψ1, ψ2, исходящие из обеих щелей, складываются в плоскости экрана, на котором регистрируются попадания частиц.
Значения этих функций в разных точках экрана дают амплитуду вероятности попадания в эти точки частиц, прошедших через первую и вторую щели соответственно.
Если в принципе нельзя определить, через какую щель проходит частица, результирующая амплитуда равна сумме амплитуд: ψ = ψ1 + ψ2. В некоторые точки экрана эти волны приходят в противофазе, и в них значения функции минимальны, в другие — в фазе, и в них значения функции максимальны.
Квадрат модуля волновой функции |ψ|2 в точках экрана определяет вероятность попадания в эти точки частиц и, следовательно, их число.
Если же есть возможность определить, через какую щель проходит частица (имеются специальные устройства для этого), вторичные волны становятся некогерентными, и складываются не амплитуды, а вероятности, и результирующая вероятность определяется суммой |ψ1|2 + |ψ2|2.
Длина волны де Бройля дает масштаб, позволяющий определить область применимости классической механики. Если величина h / p для частицы много меньше характерных размеров области, в которой движется частица, применима классическая механика. Например, длина волны для электрона, движущегося в телевизионной трубке от катода к экрану, много меньше размеров трубки, и расчет траектории электронов может проводиться в рамках классической механики. (Квантовая механика переходит в классическую в области применимости последней.)
